BILANGAN KOMPLEK

PENGENALAN BILANGAN KOMPLEKS Apabila persamaan aljabar adalah x2 = -4, maka persamaan ini tidak dapat diselesaikan dengan suatu bilangan ril, tetapi hanya dapat diselesaikan dengan memperkenalkan satuan baru yaitu satuan imajiner (khayal) ayau disebut sebagai operator imajiner dan dinyatakan dengan simbol j dengan : , dengan demikian Dengan demikian Hasil perkalian bilangan ril dengan bilangan imajiner adalah bilangan imajiner Misal : a adalah bilangan ril, dan b adalah bilangan imajiner, maka jika c adalah perkalian a dan jb maka c = j ab ( merupakan bilangan imajiner) Hasil penjumlahan bilangan ril dengan imajiner adalah bilangan kompleks Misal : a adalah bilangan ril, dan b adalah bilangan imajiner, maka jika c adalah penjumlahan a dan jb maka c = a + jb ( diesbut bilangan kompleks) Jadi suatu bilangan kompleks memiliki 2 komponen bilangan yaitu satu bagian bilangan ril dan satu bagian bilangan imajiner. Misalkan Z adalah bilangan kompleks dengan Z = a + jb, bilangan Z memiliki bilangan ril a dan bilangan imajiner b yang dinyatakan dengan : Re[Z] = a dan Im[Z] = b Bilangan kompleks dapat dilukiskan dalam bidang kompleks dengan sumbu horizontal menyatakan bilangan ril dan sumbu vertikal menyatakan bilangan imajiner. Penulisan bilangan kompleks Z = a + jb disebut sebagai bentuk rectangular Operasi bilangan kompleks a. Operasi penjumlahan Misalkan : Z1 = a + jb, dan Z2 = c + jd, maka : Z = Z1 + Z2 = (a + jb ) + ( c+ jd ) = ( a + c ) + j( b + d) Contoh : Z1 = 3 + j4, dan Z2 = 2 – j2, Z = Z1 + Z2 = (3+ j4 ) + ( 2 - j2 ) = ( 3 + 2 ) + j( 4 - 2 ) = 5 + j2 b. Operasi pengurangan Misalkan : Z1 = a + jb, dan Z2 = c + jd, maka : Z = Z1 - Z2 = (a + jb ) - ( c+ jd ) = ( a - c ) +-j( b - d) Contoh : Z1 = 3 + j4, dan Z2 = 2 – j2, Z = Z1 + Z2 = (3+ j4 ) - ( 2 - j2 ) = ( 3 - 2 ) + j( 4 – (- 2 )) = 1 + j6 c. Operasi perkalian Misalkan : Z1 = a + jb, dan Z2 = c + jd, maka : Z = Z1 . Z2 = (a + jb ) ( c+ jd ) = (a.c) + j( a.d) + j(b.c) – (b.d) Contoh : Z1 = 3 + j4, dan Z2 = 2 – j2, Z = Z1 + Z2 = (3+ j4 ) ( 2 - j2 ) = (3.2) - j(3.2) + j(4.2) +(4.2) = 14 - j2 Penulisan Bilangan Komplek dalam bentuk elsponensial Berdasarkan identitas euler bahwa : Misalkan Z adalah bilangan ril positif, maka : = a + jb Ada dua komponen bilangan diatas yaitu bilangan ril dan bilangan imajiner . Jadi bilangan tersebut merupakan bilangan kompleks karena memiliki dua buah komponen.. Sudut f dapat dicari melalui hubungan : Besarnya bilangan Z adalah : Contoh : Diketahui sebuah bilangan kompleks Z = 4 + j2 , ubahlah dalam bentuk bilangan eksponensial. Jawab : Z = 4 + j2 Jadi dalam bentuk eksponensial adalah :